撰文 比邻星

春节假期,独乐乐不如众乐乐。

如果要选择一种声音代表新春佳节的团聚,除了噼里啪啦的鞭炮、杯盏相碰的清脆,一句三缺一和麻将桌上哗啦啦的搓麻声必定占有一席之地。

麻将在不同段位的玩家眼中代表着不同维度的世界。入门级小白只专注于面前的牌,久经沙场的老手更有大局观,心中装着整个牌桌的乾坤。而在一名理科生眼中,麻将是一场概率游戏和策略博弈。

按照概率学原理,你这牌一看胡不了插图

19世纪的麻将牌长这样 | 图源:Wiki

不过话说回来,还真有数学家发表了关于麻将数学的研究论文,不仅编写程序计算胡牌的概率,更是致力于开发AI打麻将的技能。当然,机器人怎么打麻将倒是后话了,对于各位玩家而言,这些研究大的价值在于能给麻将桌上的牌局以专业的理论指导。

故事还要从清一色讲起。

先补充点背景知识。标准麻将牌包含筒、条、万、风和箭五套花色,每种牌有4张是相同的。4名玩家初始摸得13张牌,之后按照逆时针摸一张牌再打出一张牌,直到他摸到后一张牌,14张牌可以凑成23333的排列组合,即为胡牌。

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从上到下分别为筒、条、万 |图源:Wiki

用公式表示是

m*AAA+n*ABC+DD m,n可以为0

如果终胡牌的牌面为同一花色,叫清一色。

一个叫李志光的数学家发现了一种有趣的牌形。

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好牌

图源:Mathematical aspects of the combinatorial game Mahjong

仔细看,你会发现下一张只要摸到的也是筒,不管是一筒到九筒中的哪一张,都可以胡牌。这牌,只要一推倒,众人定有不明觉厉之感。

这样的牌形叫九门(Nine Gate), 李志光随后联想到,类似的八门、七门、六门……都有什么样的牌形,哪种出现的概率更高?

至此开始,一个娱乐问题成功上升为科研课题,行话叫k门问题。

用数学符号代表刚才的牌形,那是

X1X1X1X2X3X4X5X6X7X8X9X9

计算概率,大体的思路是尝试所有Xi的组合,然后检验每种组合是否符合k门的要求。这样的重复性运算,交给Python程序够了。

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一段源代码截图网址链接:

https://cklixx.people.wm.edu/mathlib/Mahjong.py

结果是这样的。九门的组合有且仅有一种,它出现的概率为0.000113;八门有16种;一门的组合则有14067种,出现的概率是0.148。

k门问题只是个开始,发现能用数学方法研究麻将,另一个团队也跃跃欲试。他们关注到的问题是——如何判断距离胡牌还差几张牌?研究结果整理为论文《来玩麻将啊!》(Let’s play Mahjong!)

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都是科研论文,这篇的画风很可爱

这个问题很实用了,理解了其中奥义,你也能拥有牌局的大局观。来看看他们是怎么算的。

首先需要用数学语言定义每一种牌形。他们选择了一对数字(c, n),c表示花色,0为条、1为万,2为筒;n表示具体的数字。比如(0, 3)是三条,(1, 5)是五万。

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(2,7)和(2,5)| 图源:flicker

接下来设置一段数列V,即14个(c, n)的集合,用来表示完整的牌面。这时你可以用逻辑语言定义出胡牌(complete)的条件。

后一步是设计一个变量,定量地表示牌面的好坏。研究者引入了缺牌数的定义,也是距离运算到胡牌状态,还差几张牌。

接下来的运算结果请收好,这是一份科学的打牌秘籍。

基础版——清一色

如果你已经凑出了两个3连(包括刻子和顺子),且它们不连续,那么缺牌数小于等于2;

如果你的牌面是以下两种情况之一,那么缺牌数为3

5个对子+一个杠;

5个对子+1个刻子+1张单牌

进阶版——多花色

对于任意组合的一副牌,大缺牌数为6。要置换6张牌才能胡的牌面是烂的牌;

如果你的牌面是以下3种情况之一,那么缺牌数小于等于5

两个不连续的3连(包括刻子和顺子);

一个3连和一个准3连(只需要碰一下或者吃一个能凑出刻子或顺子);

4个准3连

面对具体的牌面时,置换麻将牌的方案不止一种,此时需综合考虑缺牌数和胡牌成本,以及方案的可行性。

举个栗子,如果你的牌面是这样的,那么你可以考虑3种搭配方案

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先把牌码上,看起来顺眼一些。

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种方案里,准3连B1B3还差一张B2(二条),但是整副牌中已经没有多余的二条,因此这种方案无效。方案二和方案三都是可行的,但是方案三的缺牌数更小,所以更优。

作为中国的经典传统游戏,麻将的玩家覆盖率在整个游戏江湖遥遥领先。不同地区有不同的打法。几分技巧、几分运气,还有好几分的乐趣。这种独特的牌类游戏也慢慢漂洋过海,传入了包括欧美国家在内的世界许多地方。还有研究证实,麻将的益智作用有益于阿尔茨海默病患者。

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美国的娃们在课外活动课上学习打麻将 |图源:Wiki

当然,专业的科学家费劲编写程序来还原麻将的游戏规则,初衷倒不是为各位玩家搞一套打牌指南,而是为了开发人工智能。毕竟围棋高手阿尔法狗和阿尔法零相继横空出世,麻将高手机器人也指日可待。

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问:图中有几个人在打麻将?|图源:unsplash

各位麻将高手,你期待和机器人PK的那天吗?

无标注图片来源网络。

参考资料:

1.Yuan Cheng, Chi-Kwong Li, and Sharon H. Li. Mathematical aspect of the combinatorial game Mahjong. ArXiv:1707.07345, 2017.

2.Sanjiang Li, Xueqing Yan.Let’s Play Mahjong!arXiv:1903.03294v1

来源:把科学带回家

编辑:Eric

来源: 中科院物理所

作者 nasiapp

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